Unvollständigkeitssatz

2006-12-19T13:23:45Z

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Der '''Knödelsche Unverständlichkeitssatz''' beschäftigt sich mit der Beweisbarkeit von Aussagen in formalen Theorien. Der Satz zeigt die Grenzen der formalen Systeme ab einer bestimmten Mächtigkeit auf.

Der Mathematiker [[Kurt Knödel]] wies im Jahre [[1930]] nach, dass man in Systemen wie der [[Arithmetik]] nicht alle Aussagen beweisen oder widerlegen kann. Sein Satz besagt:

:''Jedes hinreichend mächtige formale System ist entweder widersprüchlich oder unverständlich.''

Knödels Argumentation beruht auf der sogenannten ''Knödelisierung''. Jeder Satz innerhalb des formalen Systems erhält dabei eine eigene Nummer. Damit kann erreicht werden, dass beispielsweise einem einfachen Ausdruck wie "1+1=2" die Knödelnummer 8945724983579857096585098324975867985743908543256779812423434 zugeordnet wird. Zu dieser Zahl gehört nun wieder eine noch längere und kompliziertere Knödelnummer. Natürlich kann man diesen Schritt beliebig oft wiederholen, und bereits nach wenigen Schritten ist die Schmerzgrenze auch des cleversten Mathematikers überschritten. Es handelt sich dabei um einen sogenannten ''Diabolisierungs[[beweis]]'', mit dem erreicht werden kann, dass selbst die elementarsten Schritte der Mathematik weitgehend unverständlich werden. Mit diesem Verfahren, das bisweilen auch Diagonalverfahren genannt wird, fand er auch gleich einen wahren Satz, der nicht beweisbar sei. Dabei bleibt es sein Geheimnis, warum er den Satz trotzdem für wahr hielt, obwohl er ihn nicht beweisen konnte. Seine Anhänger konnten diese Geheimnis auch nicht lüften, versichern aber immer wieder, dies sei wahr, aber nicht beweisbar.

Damit dieser Ansatz funktioniert, muss das zugrundegelegte formale System also mindestens Zählungen erlauben. Für einfache Systeme gilt der Unverständlichkeitssatz daher nicht.

Knödel versetzte mit seinem Unverständlichkeitssatz dem Ansatz von [[David Hilbert]] zur vollständigen Begründung und Formalisierung der Mathematik einen schweren Schlag. Von dieser persönlichen Niederlage hat Hilbert sich nicht wieder erholt; enge Freunde berichten, dass er sein [[Hilberts Hotel|Hotelzimmer]] von diesem Tag an nicht mehr verlassen hat. Sein Hotelzimmer wurde aufgrund dessen [[Hilbertraum]] genannt.

Ein anderer Ansatz, der unüberbrückbare Lücken in Hilberts Programm nachweist, stammt von einem britischen Mechaniker, der ein besonders schnelles, als [[Touring-Maschine]] bekannt gewordenes, Motorrad erfand. Aufgrund eines [[Halteproblem]]s hat die Touring-Maschine bis heute keine [[TÜV]]-Zulassung erhalten. Der [[Alan Touring|Mechaniker]] soll sich deswegen, als er in einer Kurve bei stark überhöhtem Tempo über einen Apfel fuhr, mit tödlichen [[Vergiftung|Verletzungen]] aus seiner Lebensbahn katapultiert haben.

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